اڪثرتي ورهاست Erequency Distribution

جڏهن به ڪنهن تحقيق لاءِ انگ اکر وارو مواد گڏ ٿي ويندو آهي تڏهن مواد کي گروهي انداز ۾ سلسليوار ترتيب ڏئي رکيو ويندو آهي ته جيئن گڏ ڪيل انگ اکر آساني سان سمجهه ۾ اچي سگهن ۽ نتيجو يا مطلب صاف نظر اچي سگهي. اهڙن انگ اکرن کي فهرستن، نقشن ۽ چارٽن جي صورت ۾ ترتيب ڏنو ويندو آهي. انهيءَ جو مقصد اهو نه هوندو آهي ته گڏ ڪيل مواد گهٽائي مختصر ڪيو ويندو آهي. پر انهيءَ جو مقصد هوندو آهي ته ساڳي گروهه جي مواد کي ڀيٽ ڪري يا هڪ جهڙائي ظاهر ڪرڻ لاءِ هڪ هنڌ تي ترتيب ڏئي نتيجي لاءِ رکيو وڃي ته جيئن گڏ ڪيل مواد جي مدد سان، انگن اکرن جو حساب يا تخمينو آساني سان لڳائي سگهجي.

سمجهو ته شاگردن جي ڪنهن مسئلي تي تحقيق ڪرڻي آهي ۽ هر هڪ شاگرد جي اهليت جون مارڪون مقرر ڪيون ويون آهن. اهڙي حالت ۾ ڪثرتي ورهاست ((Frequency Distribution جي لحاظ کان فهرست ۾ ٻه خانا مقرر ڪيا ويندا- هڪ ۾ شاگردن جو تعداد هوندو ۽ ٻئي ۾ انهن جي اهليت جون مارڪون رکيون وينديون. اهڙي ورهاست جنهن ۾ تعداد يا ڳڻپ هڪ خاني ۾ ۽ انهن جون حاصل ڪيل مارڪون ٻئي خاني ۾ رکيون وڃن ته اهڙي ورهاست کي ڪثرتي ورهاست (Frequencency Distribution) چيو ويندو آهي. ڪثرتي ورهاست انگن اکرن موجب انداز جي لحاظ کان جدا جدا قسمن جي عددي مواد جي اها درجا بندي آهي جيڪا فهرستن جي مدد سان ترتيب ڏني وڃي.

Merle  W. Tate پنهنجي ڪتاب Statistics in Education ۾ ڪثرتي ورهاست Frequency Distribution جي وصف هي ڪئي آهي ته :

The Term frequency distribution, as used in statistics

Ordinarily refers the tabulation of quantitative data in classes which vary in size.

ڪثرتي ورهاست      Frequnecy Distribution

انگن اکرن کي وقفي پيمائش ۽ مرڪزي عدد جي مدد سان هن طرح رکيو ويندو. Class Intervals and Their mid Points

مٿي ڏيکاريل پيمائش ۾ 35.30، 40. 45، 55. 60  هيٺين حد (Lower Limit)  آهي جيڪا دراصل44.5، 49.5،45.5 ۽ 59.5 کان شروع ٿئي ٿي جنهن کي 29.5، 34.5، 39.5، حقيقي برابر هيٺين حد (Real Lower Limit)  چيو وڃي ٿو.

اهڙي طرح وقفي جي مٿاهين حد (Upper Limit)  34، 39، 44، 49، 54،  59، 64 آهي پر حقيقي مٿاهين حد (Real Upper Limitd) 5. 34،39.5 5. 44، 5. 49، 5. 54، 5. 59، ۽ 5. 64 آهي. اهڙي طرح ڪل گڏيل ڪثرت 28 ٿيندي ۽ مرڪزي عدد (Midpoints) ٿيندا 62، 57، 52، 47، 42، 37 ۽ 32.

گڏيل ڪثرت:  Cumulative Frequency    

 گڏيل ڪثرت جو مطلب آهي ته فهرستن ۾ ڪثرت جي هيٺين عدد کي مٿين عدد سان جوڙ ڪبو اچبو ۽ آخرين عدد کي جوڙ ڪرڻ کان پوءِ  جيڪو جواب نڪرندو اها ٿيندي گڏيل ڪثرت. جيئن مٿي فهرست جي ٻئي خاني ۾ ڏيکاريو ويو آهي.

مرڪزي جهڪاءُ:  Central Tendency

مرڪزي جهڪاءُ جو مطلب آهي ته اهو انگن جي سلسلي مان چونڊيل انگ جيڪو سڀني انگن جي اڳواڻي ڪندو هجي. ٻين لفظن ۾ اهڙو انگ جيڪو سلسلي جي سڀني انگن جي اهميت ظاهر ڪري يا جنهن مان سڀني انگن جي نمائندگي ظاهر ٿئي يا سلسلي ۾ اهڙو وچ وارو انگ جنهن جي طرف پورن انگن جو سلسلو مائل هجي تنهن کي مرڪزي جهڪاءُ جو پيمانو (Measure of Central Tendency) چيو وڃي ٿو.

اهو مرڪزي جهڪاءُ جو پيمانو انگن جي هڪ قسم جي سراسري (Average) هوندي آهي يا ائين چئجي ته هڪ قسم جي خاص انگن جي سلسلي جو قدر هوندو آهي جيڪو سڀني انگن جي مدد سان ظاهر ڪيو وڃي ٿو. انهيءَ انگ جو مقصد هوندو آهي ته سلسلي جي سڀني انگن جي قدر کي مختصر ڪري سراسري قدر (Average)   ظاهري ڪري يا سڀني انگن جي نمائندگي ڪري.

جڏهن به ڪنهن طبقي جي مرڪزي جهڪاءُ کي حاصل ڪرڻو هوندو آهي ته انهيءَ طبقي مان ڪي نمايان يا خاص مثال ورتا ويندا آهن جن جي مدد سان پيماني جو مرڪزي جهڪاءُ  گوليو وڃي ٿو.

هن جو مثال هي ٿي سگهي ٿو ته ڪنهن ڪلاس جي شاگردن جي حسابن جو نتيجو  ڏسڻو آهي ته اهو ڪيترو سٺو آهي. انهيءَ جو طريقو هي آهي ته وچولي درجي جي شاگردن جي نتيجي (Median) کي ورتو وڃي يا پوري ڪلاس جي سراسري (Average) انهن ٻنهي طريقن مان سٺو طريقو برابري (Mean) وارو آهي. جيڪو ڪلاس جي سراسري لاءِ سٺو نتيجو يا مثال ٿي سگهي ٿو.

مثال:

هڪ ڪلاس ۾ پنج شاگرد آهن هر هڪ جون مارڪون هن ريت آهن:

50، 60، 70، 80، 90

پهريون طريقو:- هن ۾ وچ واري شاگرد جون مارڪون (Median) 70 آهن.

ٻيو طريقو: سڀني شاگردن جي مارڪن کي جوڙ ڪري پوءِ انهيءَ جي سراسري ڪڍي وڃي جا ٿيندي.

جوڙ ٿيو 350 = 50 + 60 + 70+ 80 + 90

جواب ٿيو  70

يعني سڀني شاگردن جون برابر مارڪون ٿيون  70 (Mean)

انگرن اکرن واري تحقيق ۾ مرڪزي جهڪاءُ جو پيمانو تمام گهڻو استعمال ڪيو وڃي ٿو: ۽ اهڙي طرح  پيماني کي معلوم ڪرڻ لاءِ برابر عدد (Mean) مثالي عدد (Mode) ۽ وچ واري عدد (Median) جي مدد ورتي ويندي آهي.

مرڪزي نقطو:   Mid-Point

انگن اکرن واري تحقيقي طريقي ۾ نتيجي ڪڍڻ لاءِ مرڪزي نقطي يا مرڪزي عدد کي وڏي اهميت هوندي آهي.

مرڪزي عدد معنيٰ اهو وچ وارو عدد جيڪو ترتيب ڏنل سلسلي وارن عددن جي وچ ۾ جيڪو فاصلو، فرق،  تفاوت آهي تنهن کي بهتر طور تي ظاهر ڪري. مثال: 78-72 جي وچ ۾ مرڪزي عدد هن طرح ڳوليو ويندو:

مرڪزي عدد يعني 78 ۽ 72 جو عدد ٿيو 75.

مثالي عدد:         MODE

تحقيق ۾ گڏ ڪيل عددن جي سلسلي ۾  ڪو عدد  جيڪڏهن ٻين عددن کان وڌيڪ استعمال ٿيو هجي يا فهرست ۾ ڪو عدد وري وري استعمال ٿيو هجي ته انهيءَ کي (Mode) يا مثالي عدد چيو وڃي ٿو. هن لفظ جو مخفف MO آهي.

انهيءَ لاءِ مثال هي ڏئي سگهجي ٿو ته جيڪڏهن ڪو ماڻهو پنهنجي استعمال جي شين مان ڪنهن هڪ شيءِ کي ٻين جي نسبت وڌيڪ ڀيرا استعمال ڪري ٿو ته اهڙي شيءِ کي مثالي عدد (Mode) چيو وڃي ٿو.

ٻيو مثال هي ڏئي سگهجي ٿو ته جيڪڏهن ڏهن شاگردن جي عمر ورتي وڃي ۽ انهن ۾ ٽن شاگردن جي عمر ساڳي هجي ته انهيءَ کي (Mode) مثالي عدد چيو ويندو.

جيئن ڏهن شاگردن جي عمر هن ريت آهي:

20، 22، 24، 28، 22، 29، 32، 22، 25، 26

هن ۾ ٽن شاگردن جي عمر 22 سال آهي ته اهڙي حالت ۾ 22  سال عمر انگن اکرن واري عمل موجب مثالي عدد (Mode) چيو ويندو.

يا اسين هينئن چئي سگهون ٿا ته عددن جي سلسلي ۾ ڪو عدد ڏسڻ سان هڪجهڙائي جي ڪري نظر ۾ نمايان نظر اچي ته انهيءَ کي مثالي عدد چيو ويندو.

مثالي عدد بلڪل تڏهن ورتو ويندو آهي جڏهن يا سلسلو تمام وڏو هوندو آهي يا جلدي ۾ ڪو نتيجو حاصل ڪرڻو هوندو آهي. هن قسم جي عددن جي اهميت ٻين کان گهٽ هوندي آهي. ڇو ته هي طريقو نه ته اعتبار جوڳو هوندو آهي نڪي بلڪل صحيح تصور ڪري سگهجي ٿو.

مثالي عدد جي حاصل ڪرڻ جو طريقو هي آهي:

Mode = 2 × Median - 3 × Mean

مثالي عدد = 2x  وچون عدد - 3 × برابر عدد

وچون عدد:   Median

انگن اکرن جي مرڪزي جهڪاءُ جي پيماني لاءِ ٻيو طريقو وچون عدد هوندو آهي. يعني عددن جي سلسلي جي وچ واري عدد کي وچون عدد چيو وڃي ٿو ۽ اهڙي طرح هي عدد سلسليوار عددن جو مرڪز هوندو آهي ۽ سندن اڳيان  ۽ پٺيان  سلسلي ۾ هڪجهڙا عدد هوندا آهن ۽ هي عدد پوري سلسلي کي پورن ٻن حصن ۾ ورهائيندو آهي.

غير گروهي مواد (Ungrouped Data) جو وچون عدد هن طرح سان ڳوليو ويندو آهي. سمجهو ته عددن جو سلسلو هن ريت آهي: 6، 9، 12، 14، 18 انهن پنجن عددن جي وچ وارو عدد آهي  12. يعني وچون عدد (Median) ٿيو 12.

پر جيڪڏهن غير گروهي مواد (Ungrouped) هن طرح هجي يعني 6، 9، 15، 18 ۽ 22 ته اهڙي حالت ۾ وچ وارن ٻن عددن کي جوڙ ڪري انهن کي ٻن سان وند ڪجي ته ٻنهي عددن جي وچ  وارو عدد نڪري ايندو. مٿي ڏنل عددن ۾ 12 ۽ 14 وچ وارا عدد آهن جن جو جوڙ ٿيو 26 ۽ اڌ ٿيو 13 يعني وچون عدد ٿيو 13.

طريقو       وچون عدد      Median

2/ (12+14)

13=2/26

سلسلي ۾ وچون عدد انهيءَ عدد کي چيو وڃي ٿو جنهن کي اڳيان % 50 عدد هجي ۽ پٺيان به %50  عدد هجن.

ڪنهن سلسلي ۾ جڏهن مثال قدر هجن ته وچون عدد عام طور تي سلسلي ۾ سراسري قدر جو سٺو نتيجو ڪڍي ٿو. هي طريقو حسابي طريقي کان بلڪل جداگانه آهي. جيڪڏهن  ڪنهن هڪ (Unit) جي پيماني جي خاصيتن ۾ تفاوت آهي ته پوءِ سراسري صحيح نتيجو نه ايندو. انهيءَ حالت ۾ ضروري آهي ته وچون عدد هٿ ڪيو وڃي، جنهن ۾ مٿيون ۽ هيٺيون اڌ برابر ڪري ۽ اهڙي وچين عدد کي ورتو وڃي ۽ اهو ئي صحيح نتيجو ٿي سگهي ٿو.

گروهي مواد مان وچون عدد ڪيئن هٿ ڪيو وڃي. گروهي مواد فهرست ۾ هن طرح آهي:

مٿي ڏنل فهرست ۾ ڪل مسئلن جو تعداد 28 ڏنل آهي جنهن جو وچون عدد ٿيو 14 کان پوءِ 15 کان اڳي. جيڪڏهن پٺيان ڳڻپ شروع ڪريون ٿا ته ٿيندو 4 + 1 + 1 + 10 = 16 اهڙي طرح وچ کان مٿي ئي ٿي ٿو وڃي ۽ اهڙي حالت ۾ اسان کي  10 مان 2 مٿي ۽ 8 هيٺ کپن، جا صحيح حد ٿيندي 14.5 ۽ 19.5 – تعداد جي لحاظ کان اهو عدد 10 جي اندر ايندو يعني 14.5 ۽ 19.5 واري فاصلي جي وچ ۾ عدد فرض ڪيو ويندو. انهيءَ فرضي عدد ڳولڻ لاءِ اسان کي حقيقي عدد ڳولڻو پوندو. يعني 14.5 کان ڪيترو هيٺ هوندو ۽ 19.5 کان ڪيترو مٿي هوندو. اهڙي طرح     هيٺ وينداسين ۽ وقفي مان اسان کي 8 عدد گهربل آهن. ڪل وقفي ۾ 5 حصن جي فاصلي مان 4 حصن جي برابر آهي    مٿي کان  هيٺ وينداسين جيڪي ٿيندا 4 برابر حصا مٿي ۽ هڪ هيٺ. اهڙي حالت ۾ 14.5 + 4 = 18.5 وچون عدد – جو هن طرح ٿيو. سمجهو ته 10 مان 8 يعني

طريقو                   وچون عدد 

مٿان هيٺ اچڻ لاءِ    حصن جي ضرروت آهي. يعني 19.5 مان هڪ حصو گهٽ ڪبو ۽ 4.5 ۾ وري    معنيٰ 4 حصا جوڙ ڪبا ته وچون عدد ملندو.

گراف جي مدد سان وچون عدد هن طرح ڪڍيو ويندو.

گراف جي مدد سان گروهي مواد (Group Data) جو وچون عدد هن طرح ڪڍيو ويندو، جيئن گراف نمبر ۾ ڏيکاريو ويو آهي. گراف ۾ ڪل ڪل 37 حصا آهن جن جو اڌ ٿيو 18.5-

1+1+3+5+6+6+8+3+3+3     = حصا 18.5

37 حصن مان 14 حصا هيٺ آهن جن ۾ 4.5 حصن جي ضرورت آهي ته جيئن پوري اڌ تي اچي يعني 18.5 حصا مڪمل ڪري. اهڙو وچ وارو عدد 14.5 ۽ 12.5 جي وچ ۾ ايندو ۽ ٻنهي عددن جي وچ ۾ 3 ايڪن (Units) جو فاصلو آهي، تنهن ڪري ٿيندو    جنهن کي گهربل عدد سان ضرب ڪبي ته اهو ٿيندو ايڪا (Units) 2.25 -  

23.75 مرڪز ٿيو جتان 18.5 عدد هيٺ ٿيا ۽ 18.5 عدد مٿي ٿيا. اهڙو وچون عدد ٿيو 23.5 (Median).

گروهي مواد (Grouped Data) مان ڪهڙي طريقي وچون عدد ڪڍجي-  Computation of Median of Grouped Data by Formula.

وچين عدد جو خاص مقصد هوندو آهي ته جڏهن مواد گڏ ڪندي ڪي انگ اکر تمام وڏن عددن ۾ هجن ۽ ڪي تمام ننڍن عددن ۾ هجن ته اهڙي حالت ۾ انهن جي صحيح سراسري لهڻ لاءِ وچون عدد ڪڍڻ ضروري هوندو آهي.

حسابي برابر عدد                      Arithmetic Mean (AM)

انگن اکرن واري تحقيق ۾ جڏهن ڪن عدد جي برابري ڪڍڻي هوندي آهي تڏهن انهيءَ جو مقصد هوندو آهي ته انگن جي سراسري (Average) ڪڍڻ. اهڙي حالت ۾ عددن کي جوڙ ڪري ۽ انهن جي ڳڻپ سان ونڊ ڪبو ۽ جيڪو جواب نڪرندو انهيءَ کي حسابي برابري وارو عدد يا سراسري (Arithmetic Mean)  چئبو آهي.

نئون صفحو --  ڪتاب جو ٽائيٽل صفحو
ٻيا صفحا 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

هوم پيج - - لائبريري ڪئٽلاگ